RANGKUMAN RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI BAGIAN 1

RUMUS RUMUS TRIGONOMETRI PART 1 (RINGKASAN MATERI DAN SOAL BAHAS)

Pada postingan kali ini kita akan membahas materi tentang rumus-rumus trigonometri dan beberapa soal terkait. Pada bagian pertama ini kita mulai dengan rumus jumlah dan selisih dua sudut, dan rumus sudut rangkap. Berikut beberapa ringkasan rumus-rumus trigonometri tersebut.

Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut.

(1) $\cos \left ( A+B \right )=\cos A\cdot \cos B-\sin A\cdot \sin B$
(2) $\cos \left ( A-B \right )=\cos A\cdot \cos B+\sin A\cdot \sin B$
(3) $\sin \left ( A+B \right )=\sin A\cdot \cos B+\cos A\cdot \sin B$
(4) $\sin \left ( A-B \right )=\sin A\cdot \cos B-\cos A\cdot \sin B$
(5) $\tan \left ( A+B \right )=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\cdot \tan B}$
(6) $\tan \left ( A-B \right )=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\cdot \tan B}$

Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
(1) $\sin 2A=2\sin A\cdot \cos A$
(2) $\cos 2A=\cos ^{2}A-\sin ^{2}A$
                       $=2\cos ^{2}A-1=1-2\sin ^{2}A$
(3) $\tan 2A=\frac{2\tan A}{1-\tan ^{2}A}$

Sekarang mari kita coba bahas beberapa soal terkait dengan menggunakan rumus-rumus di atas.

Soal 1.
Hitunglah hasil dari :
a) $\sin 75^{0}$    b) $\cos 15^{0}$
Pembahasan :
a) $\sin 75^{0}$
   $=\sin \left ( 45^{0}+30^{0} \right )$
    $=\sin 45^{0}\cdot \cos 30^{0}+\cos 45^{0}\cdot\sin 30^{0}$

    $=\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}$
    $=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}=\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )$

b) $\cos 15^{0}$
    $=\cos \left ( 45^{0}-30^{0} \right )$
    $=\cos 45^{0}\cdot \cos 30^{0}+\sin 45^{0}\cdot \sin 30^{0}$
    $=\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}$
    $=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}=\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )$

Soal 2.
Diketahui $\cos A=\frac{4}{5}$ dan $\sin B=\frac{12}{13}$ dimana sudut A lancip dan sudut B tumpul. Tentukan nilai $\sin \left ( A-B \right )$ .
Pembahasan :
Dengan memanfaatkan dalil pythagoras pada segitiga siku-siku, maka sin A dan cos B bisa dicari.

Maka :
$\sin \left ( A-B \right )$
$=\sin A\cdot \cos B-\cos A\cdot \sin B$
$=\frac{3}{5}\cdot\left ( -\frac{5}{13} \right )-\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}$
$=-\frac{15}{65}-\frac{48}{65}$
$=-\frac{63}{65}$

Soal 3.
Jika $\sin X=\frac{9}{15}$ dengan X sudut lancip, tentukan nilai sin 2X.
Pembahasan :
Dengan memanfaatkan teorema pythagoras, diperoleh panjang sisi lainnya yakni $\sqrt{15^{2}-9^{2}}=12$ dan karena X sudut lancip (kuadran I), maka $\cos X=\frac{12}{15}$ . Sehingga :
$\sin 2X=2\sin X\cdot \cos X$
$=2\cdot \frac{9}{15}\cdot \frac{12}{15}$