PENYELESAIAN PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK: a Cos x + b Sin x = C

Assalamualaikum, apa kabar semua? semoga kita semua selalu sehat dan tetap semangat dalam belajar. Pada postingan kali ini kita akan membahas cara mencari solusi persamaan trigonometri yang berbentuk $a \cos x + b \sin x = c$. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan dua cara yakni dengan dikonversi terlebih dahulu menjadi bentuk $k \cos (x - α) = c$ atau $k \sin (x + β) = c$. Untuk lebih memahaminya, berikut kita akan bahas cara menyelesaikan persamaan trigonometri $a \cos x + b \sin x = c$ menggunakan dua pola tersebut. Perhatikan dua rumus penyelesaian berikut.

RUMUS 1

$a \cos x + b \sin x = c$ dimana $k \cos (x - α) = c$

dengan $k=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ dan $\begin{aligned} \tan \alpha =\frac{b}{a} \end{aligned}$

RUMUS 2

$a \cos x + b \sin x = c$ dimana $k \sin (x + β) = c$

dengan $k=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ dan $\begin{aligned} \tan \beta =\frac{a}{b} \end{aligned}$

Untuk memahami penggunaan kedua rumus di atas, sekarang mari kita coba selesaikan contoh soal berikut ini.

CONTOH SOAL
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $5\cos x+\sqrt{75}\sin x=10$ dengan batas $0^{0}\leq x\leq 360^{0}$.

Penyelesaian cara 1:
Diketahui $5\cos x+\sqrt{75}\sin x=10$ dimana $a = 5$, $b = \sqrt{75}$ dan $C = 10$. Maka,
$k=\sqrt{5^{2}+\left ( \sqrt{75} \right )^{2}}=\sqrt{100}=10$
$\tan \alpha =\frac{\sqrt{75}}{5}=\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{25}}=\sqrt{3}$ diperoleh $\alpha =\arctan \sqrt{3}=60^{0}$
Sehingga bentuk $k \cos (x - α) = C$ nya :
$10\cos \left ( x-60^{0} \right )=10\rightarrow \cos \left ( x-60^{0} \right )=1$
[ $\cos$ yang bernilai $1$ yang memenuhi adalah $\cos 0^{0}$ dan $\cos 360^{0}$ ]

● Untuk $\cos0^{0}$, maka: $$\cos \left ( x-60^{0} \right )=\cos0^{0}$$ $$\left ( x-60^{0} \right )=0^{0}+k\cdot 360^{0}$$ $$x=60^{0}+k\cdot 360^{0}$$ Untuk $k = 0$, diperoleh $x=60^{0}$
Untuk $k = 1$, diperoleh $x=420^{0}$ { tidak memenuhi karena melewati batas $x$ }

● Untuk $\cos0^{0}$, maka: $$\cos \left ( x-60^{0} \right )=\cos360^{0}$$ $$\left ( x-60^{0} \right )=360^{0}+k\cdot 360^{0}$$ $$x=420^{0}+k\cdot 360^{0}$$ Untuk $k = -1$,diperoleh $x=60^{0}$
Untuk $k = 0, 1, 2, ...$ tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
Jadi nilai x yang memenuhi $5\cos x+\sqrt{75}\sin x=10$ adalah $60^{0}$

Penyelesaian cara 2 :
Diketahui $5\cos x+\sqrt{75}\sin x=10$ dimana a = 5, b = $\sqrt{75}$ dan C = 10, maka
$k=\sqrt{5^{2}+\left ( \sqrt{75} \right )^{2}}=\sqrt{100}=10$
$\tan \beta =\frac{b}{a}=\frac{5}{\sqrt{75}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{75}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, maka $\beta =\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}=30^{0}$
Sehingga bentuk k sin (x + β) = C nya :
$10\sin \left ( x+30^{0} \right )=10$
$\rightarrow \sin \left ( x+30^{0} \right )=1$
{ $\sin$ yang bernilai $1$ yang memenuhi adalah $\sin 90^{0}$ }
Maka untuk $\sin90^{0}$ : $$\sin \left ( x+30^{0} \right )=\sin90^{0}$$ $$x+30^{0}=90^{0}+k\cdot 360^{0}$$ $$x=60^{0}+k\cdot 360^{0}$$ Untuk $k = 0$, diperoleh $x = 60^{0}$
Untuk $k = -1, 1, 2$ dst {tidak ada nilai $x$ yang memenuhi batas}.
Jadi nilai $x$ yang memenuhi $5\cos x+\sqrt{75}\sin x=10$ adalah $60^{0}$

Kesimpulan :
Setelah menggunakan dua macam cara di atas, diperoleh hasil yang sama yaitu $x = 60^{0}$
Nah, kalian lebih suka cara yang mana ya? ^_^