LATIHAN SOAL DASAR-DASAR OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SMP

Olimpiade Matematika atau sering disebut OSN Matematika merupakan wadah kompetisi siswa di bidang Matematika yang rutin dilaksanakan setiap tahun. Seleksi dilaksanakan mulai dari tingkat Kabupaten, provinsi sampai tingkat nasional yang kemudian nantinya pemenangnya dapat menjadi bagian dari tim olimpiade indonesia yang berkompetisi di ajang Internasional. Untuk mengikuti OSN maka perlu membekali diri dengan perisapan-persiapan yang matang salah satunya yang paling penting adalah mempeljari konsep dan memperbanyak berlatih soal. Berlatih soal harus tekun mengingat soal-soal standar olimpiade memiliki tingkat kompleksitas yang membutuhkab analisis yang lebih tinggi jika dibandingkan dengan soal-soal buku paket yang diajarkan secara reguler di kelas. Oleh sebab itu para siswa sejak dini mengenali dan berlatih soal-soal standar olimpiade itu sendiri. Pada blog ini, saya akan membagikan latihan-latihan soal dan pembahasan soal olimpiade matematika tingkat SMP. Semoga bermanfaat, yuk belajar dan terus belajar.

Nomor 1
Tentukan digit terakhir dari perpangkatan $3^{2023}$.
Pembahasan:
Perhatikan pola digit terakhir dari perpangkatan dengan bilangan pokok 3 berikut.
$3^{1}$ = 3 digit terakhirnya adalah 3
$3^{2}$ = 9 digit terakhirnya adalah 9
$3^{3}$ = 27 digit terakhirnya adalah 7
$3^{4}$ = 81 digit terakhirnya adalah 1
$3^{5}$ = 243 digit terakhirnya adalah 3 {berulang kembali}
Maka terlihat setelah 4 digit berbeda, terjadi pengulangan kembali. Sehingga untuk pangkat 2023 tinggal kita bagi 4 memiliki sisa 3.
Sehingga digit terakhirnya ada pada pola ke 3 yakni 7.
Jadi digit terakhir dari perpangkatan $3^{2023}$ adalah 7.

Nomor 2
Hasil dari $\frac{3^{2010}-3^{2008}+120}{9^{1004}+15}$ adalah...
Pembahasan:
$\frac{3^{2010}-3^{2008}+120}{9^{1004}+15}$
$=\frac{3^{2}3^{2008}-3^{2008}+120}{3^{2(1004)}+15}$
$=\frac{9(3^{2008}+15)-(3^{2008}+15)}{3^{2008}+15}$
$=\frac{9-1}{1}=8$.

Nomor 3
Banyaknya bilangan bulat n sehingga $\frac{10n^{2}-55}{2n^{2}+3}$ merupakan bilangan bulat adalah ...
Pembahasan:
$\frac{10n^{2}-55}{2n^{2}+3}=\frac{5(2n^{2}+3)-70}{2n^{2}+3}=5-\frac{70}{2n^{2}+3}$
Agar $\frac{70}{2n^{2}+3}$ bilangan bulat, maka $2n^{2}+3$ adalah faktor dari 70 yakni $1,2,5,7,10,14,35,70$. Setelah dicek:
$2n^{2}+3=1$, tidak ada nilai n yang menghasilkan bilangan bulat. Begitupula untuk $2,7,10,14,70$ tidak menghasilkan n bilangan bulat.
● Untuk $2n^{2}+3=5$
Diperoleh nilai $n=-1$ dan $n=1$
● Untuk $2n^{2}+3=35$
Diperoleh nilai $n=-4$ dan $n=4$
Jadi banyak bilangan bulat n yang memenuhi adalah 4.

Nomor 4
$D(M)$ didefinisikan sebagai banyaknya faktor dari $M$, dengan $M$ anggota bilangan bulat positif. Contohnya, $M = 8$. Faktor-faktor dari 8 adalah 1,2,4, dan 8. Sehingga $D(8) = 4$. Jika $M = 10.800$, maka tentukanlah $D(10.800)$...
Pembahasan:
$M=10.800=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}$.
Berdasarkan teorema faktor positif, maka:
$D(10.800)=D(2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2})$
$=\left ( 4+1 \right )\left ( 3+1 \right )\left ( 2+1 \right )=5\cdot 4\cdot 3=60$